梁朝伟、汤唯2008日本出头

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  • 时间:2019-03-11 11:35
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今年的高考,是我省实施新课程后的第一次高考。从今年高考数学试卷看,数列这一章节仍是高考考查的重点。其中主要考查数列的通项和求和,而求和的前提是求出通项公式,所以通项的求出是我们解决问题的关键。其中重要的一种类型就是递推数列的通项求解,该类型题目求解方法多样,新教材的习题中也体现了这一点。本文以人教社普通高中课程标准实验教科书数学必修(版)数列一章中选菜问题为例,谈谈数列习题的求解方法。 数列;选菜问题;求解方法 关于选菜问题学校餐厅每天供应名学生用餐,每星期一有、两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在这星期一选种菜的,下星期一会有%改选种菜,而选种菜的,下星期会有%改选种菜,用分别表示在第个星期选的人数和选的人数,如果=,求 作为数列题目,应该说是该题目是比较经典的一道题目,它涉及到递推数列的求通项问题,引发了笔者对该题目解法的一点不成熟的思考,通过该题对本类型求通项方法做以总结,希望能达到抛砖引玉的作用。 方法一利用变量之间的关系,进行迭代求解 解(列一元一阶线性递推方程法)由题意得,=() 因为=,代入得= 即=() 因=,在中令=得=,再令=,得=,一直进行下去可得= 实际上,由式和初值=,可知数列{}为各项都是的常数列,所以= 方法二利用递推关系式构造新的等比数列求解 解由解法可得=, 也可写成= 利用式和初值=,可知数列{}为各项都等于零的常数列,即数列{}为各项都是的常数列,所以= 方法三利用不动点求解(说明满足方程=的根称为函数=的不动点) 解由解法可得=() 该式的不动点方程为γ=γ, 解得不动点γ=,即有γ=γ 将,得 γ=(γ) 因为=γ=,所以由可知数列{γ}为各项都是零的常数列,即数列{}为各项都是的常数列,所以= 方法四(列一元二阶线性齐次递推方程,特征根法)同解法可得 =(≥) 递推式的特征方程为 =,即=,解得特征根=,=所以的通解为=